Tipărire

Artistul german Albrecht Durer, unul din promotorii Renașterii în nordul Europei și unul dintre cei mai de seamă contributori la teoria artei, a avut realizări importante și în matematică.
El a întocmit un îndrumător pentru măsurarea cu rigla și compasul, a prezentat construcția spiralelor cu ajutorul compasului, a utilizat metoda proiecțiilor ortogonale duble, a descris epicicloida și curba scoică și a realizat o generalizare a concoidei lui Nicomede.
Într-una din cele mai cunoscute și misterioase opere ale sale intitulată „Melancolia I”, Durer a înfățișat un careu magic absolut fabulos, pe care îl prezentăm și noi mai jos:

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Acest careu este într-adevăr spectaculos, deoarece pe lângă proprietatea caracteristică pătratelor magice de a avea suma numerelor de pe linii, coloane și diagonale constantă (în cazul de față egală cu 34), el mai posedă câteva moduri uimitoare de a fi împărțit în 4 regiuni  a câte 4 numere cu suma egală cu 34.
Puteți spune Câte moduri de acest fel mai există și care sunt acestea?

Soluție:

Există 13 moduri diferite de a împărți careul lui Durer în 4 regiuni a câte 4 numere cu suma egală cu 34. Aceste regiuni sunt:
1) Liniile;
2) Coloanele;
3) Diagonalele;
4) Pătratul format de cele 4 numere din centru, la care se adaugă grupele de 4 numere formate cu numerele rămase deasupra și dedesubt (3, 2, 15, 14), în stânga și în dreapta (5, 9, 8, 12), pe diagonale (sau vârfurile careului: 16, 13, 4, 1);
5) Cele patru pătrate rezultate secționând careul de-a lungul liniilor mijlocii;
6) Regiunile care rezultă luând jumătatea superioară/inferioară a acestor pătrate și jumătatea corespunzătoare din pătratul de dedesubt (de ex. 16, 3, 9, 6 sau 11, 8, 14, 1);
7) Regiunile care rezultă luând jumătatea stângă/dreaptă a acestor pătrate și jumătatea corespunzătoare din pătratul alăturat (de ex. 16, 5, 2, 11 sau 6, 15, 12, 1);
8) Regiunile care rezultă luând jumătatea superioară/inferioară a acestor pătrate și jumătatea inferioară/superioară din pătratul diametral opus (de ex. 16, 3, 14, 1 sau 9, 6, 11, 8);
9) Regiunile care rezultă luând jumătatea stângă/dreaptă a acestor pătrate și jumătatea dreaptă/stângă din pătratul diametral opus (de ex. 16, 5, 12, 1 sau 13, 8, 9, 4);
10) Grupurile care se obțin luând aceeași celulă din fiecare din cele 4 pătrate (de ex. 16, 2, 9, 7 sau 10, 8, 15, 1);
11) Grupurile care se obțin luând aceeași celulă din pătratele de sus și simetricele lor față de diagonală din pătratele de dedesubt (de ex. 16, 2, 1, 15 sau 3, 13, 14, 4);
12) Grupurile care se obțin luând aceeași celulă din pătratele din stânga și simetricele lor față de diagonală din pătratele din dreapta (de ex. 16, 9, 8, 1 sau 5, 4, 12, 13);
13) Grupurile care se obțin luând celulele în sens orar/antiorar din pătratele parcurse în sens orar începând cu cel din stânga sus (de ex. 16, 2, 7, 9/5, 11, 14, 4) (sau, pentru a complica și mai mult lucrurile, luând celulele din două pătrate diametral opuse în sens orar/antiorar iar pe cele din celelalte două pătrate în sens antiorar/orar - de ex. 3, 14, 2, 15 sau 5, 12, 2, 15).