Logicus - Antrenamentul conexiunilor rapide

Iată cum își striga marfa acum două veacuri un vânzător ambulant de chifle în iarmaroc:
Colaci calzi și pufoși
Pentru copiii frumoși!
Unul la un gologan
Doi la un gologan cu susan
Trei cu mac la un gologan!
Pentru copii – băieți și fetițe –,
Iar dacă fetițele nu vor
Luați-le dară băieților!
Unul la un gologan
Doi la un gologan cu susan
Trei cu mac la un gologan!
Un trecător se apropie și cumpără de 7 gologani colaci pentru copiii săi – băieți și fete în număr egal –, astfel încât fiecare să fie tratat cu colaci (!) în mod egal.
Câți copii are omul nostru dacă există un singur mod de a cumpăra colaci în aceste condiții?

Soluție:

Ce știm?
1. Omul nostru a cumpărat colaci de 1, 1/2 sau 1/3 gologani bucata;
2. A cumpărat un număr egal de colaci din fiecare fel pentru fiecare copil (nu neapărat același de la o categorie la alta), dar fiecare copil primind mai mult de 1 colac;
3. A cumpărat colaci de 7 gologani;
4. Avea un număr egal de fii și de fiice.
Omul nostru nu poate avea 2 fii/fiice. Într-adevăr, dacă ar avea 4 copii (2 fii și 2 fiice), atunci fiecare copil ar primi colaci în valoare de 7/4 gologani. Dar cum colacii sunt de 1 gologan, 1/2 sau 1/3 gologani bucata, rezultă că 7 ar trebui descompus ca suma unui număr oarecare de multiplii de 2 și de 4. Imposibil, 7 fiind un număr impar!
Deci, omul nu poate avea 2 fii/fiice. Din aceleași considerente, omul nu poate avea niciun alt număr par de fii/fiice.
Dacă omul nostru ar avea 3 fii/fiice, atunci fiecare copil ar trebui să primească colaci în valoare de 7/6 gologani iar 7 ar trebui descompus ca suma unui număr oarecare de multipli de 2 și de 3. Și cum acest lucru poate fi făcut într-un singur fel:
7=2+2+3
iar atunci

rezultă că fiecare copil trebuie să primească 1 colac de 1/2 gologani (cu susan) și 2 colaci de 1/3 gologani (cu mac).
Pentru 5, 9, 11, ... fii/fiice fracțiile rezultate (7/10, 7/18, 7/22, ...) nu mai pot fi descompuse ca sume de fracții cu numitorul 2 sau 3.
Cazul 7 fii/fiice în care cheltuiala per copil ar fi de 7/14 gologani se exclude, deoarece ar însemna ca fiecare copil să primească un singur colac în valoare de 1/2 gologani.
Rămâne să mai arătăm că nici cazul 1 fiu/fiică nu este acceptabil, dar din alte considerente. Într-adevăr, în acest caz cheltuiala ar fi de 7/2 gologani per copil și cum 7/2 gologani poate fi scris:

rezultă că fiecare copil ar putea primi

• 7 colaci de 1/2 gologani bucata;
• 1 colac de 1 gologan bucata și 5 de 1/2 g/b sau 3 colaci de 1/3 g/b și 5 de 1/2 g/b;
• 2 colaci de 1 g/b și 3 de 1/2 g/b sau 3 de 1/3 g/b, 1 de 1 g/b și 3 de 1/2 g/b sau 6 de 1/3 g/b și 3 de 1/2 g/b;
• 3 colaci de 1 g/b și 1 de 1/2 g/b sau 3 de 1/3 g/b, 2 de 1 g/b și 1 de 1/2 g/b sau 1 de 1 g, 6 de 1/3 g/b și 1 de 1/2 g/b sau 9 de 1/3 g/b și 1 de 1/2 g/b.

Astfel că în acest caz (1 fiu/fiică) există 10 moduri diferite de a cumpăra colacii pentru copii și nu mai este respectată cerința de unicitate a modului de cumpărare.
Prin urmare, omul nostru nu poate avea decât 6 copii și pentru fiecare el a cumpărat 1 colac de 1/2 gologani bucata și 2 colaci de 1/3 gologani bucata, adică câte unul cu susan și 2 cu mac.

• Prec
• Mai departe