Tipărire

Așezați-vă comod în fotoliu, închideți ochii și respirați liniștiți! Vom lucra cu ochii minții.
Pe o coală mare, albă, imaginară, desenați cu un creion negru un pătrat!
Luați un creion albastru și uniți printr-un segment mijloacele celor două laturi orizontale ale pătratului! Repetați operația și pentru cele două laturi verticale!
Cu ajutorul unui creion roșu uniți în sens antiorar punctele de intersecție dintre segmentele albastre și laturile pătratului.
Câte pătrate puteți număra pe figura construită? Dar triunghiuri dreptunghice?
Acum, trasați și diagonalele pătratului inițial cu un creion verde.
Câte triunghiuri dreptunghice puteți număra pe figură?
După acest exercițiu, beți un pahar cu apă proaspătă și ziua vi se va părea mult mai frumoasă și mai spornică!
(propusă de prof. Cornelia Moarcaș)

Soluție:

desenul cu pătratul liniile mijlocii diagonalele și segmentele roșii care unesc mijloacele laturilor

I. Avem pătratul inițial; liniile mijlocii (cele trasate cu albastru) mai formează 4 pătrate; liniile roșii mai formează și ele un pătrat.
În total s-au format
1+4+1=6
pătrate.
II. În pătratul roșu, cele două segmente albastre reprezintă diagonalele. Fiecare diagonală formează cu laturile pătratului câte două triunghiuri. Diagonalele prin intersectare mai formează 4 triunghiuri.
În colțurile pătratului inițial mai avem câte un triunghi format de câte un segment roșu cu laturile pătratului.
Deci, avem
4+4+4=12
triunghiuri.
III. În pătratul roșu, avem 8 triunghiuri inițial; trasând diagonalele verzi, acestea împart triunghiurile cu câte două laturi albastre și una roșie în jumătate, rezultând încă 8 triunghiuri.
Deci, 8+8=16.
Cele 4 triunghiuri din afara pătratului roșu sunt, la rândul lor, înjumătățite de diagonalele verzi, astfel că mai apar 2x4=8 triunghiuri.
Deci, 4+8=12.
În pătratul inițial, diagonalele determină prin intersectare 4 triunghiuri,iar segmentele albastre le înjumătățesc, formându-se încă 8 triunghiuri; diagonalele împreună cu câte 2 laturi ale pătratului mai determină 4 triunghiuri. În total, 4+8+4=16 triunghiuri.
Vom avea
16+12+16=44 triunghiuri.

Metoda a doua de numărare a triunghiurilor, după mărime:
În pătratul inițial s-au format 4 pătrate mici prin trasarea liniilor mijlocii. În fiecare dintre ele există 8 triunghiuri dreptunghice (4 formate de diagonale cu laturile și 4 formate de centru cu vârfurile pătratului.) În total, 4x8=32 triunghiuri mici și mijlocii (formate din câte două triunghiuri mici.)
În plus, în pătratul roșu mai sunt 4 triunghiuri dreptunghice formate de diagonale cu laturile (și conținând câte 4 triunghiuri mici.)
Iar în pătratul mare mai există 4 triunghiuri dreptunghice formate de centru cu vârfurile pătratului (și conținând câte 4 triunghiuri mici) și 4 triunghiuri dreptunghice formate de diagonale cu laturile (și conținând câte 8 triunghiuri mici.)
În total, avem:
32+4+4+4=44
de triunghiuri, din care:
16 mici;
16 triunghiuri formate din câte 2 triunghiuri mici;
8 triunghiuri formate din câte 4 triunghiuri mici;
4 triunghiuri formate din câte 8 triunghiuri mici.