Triunghiuri „valoroase”

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme de numărare şi distribuire Probleme de numărare şi distribuire; Publicat: 15 Iunie 2016 15 Iunie 2016; Accesări: 3272 3272

Având la dispoziție o pușculiță cu monede, construiți un triunghi isoscel din monede de aceeași valoare astfel încât pe primul rând să se găsească 1 monedă, pe al doilea 3 monede, pe al treilea 5 monede, pe al patrulea 7 monede, iar monedele să fie aliniate pe linii, respectiv coloane și oricare două monede învecinate să aibă un singur punct comun. Similar, construiți un al doilea triunghi isoscel cu 1 monedă pe primul rând, 3 pe al doilea, 5 pe al treilea, 7 pe al patrulea, ..., 13 pe al șaptelea.
a. Care dintre cele două triunghiuri poate fi transformat într-un pătrat? Câte monede trebuie mutate?
b. Poate fi construit un triunghi isoscel din 35 de monede după metoda mai sus enunțată?
c. Generalizați problema pentru n monede de aceeași valoare.
(propusă de prof. Cornelia Moarcaș)

Soluție:

a. Primul triunghi este format din
1+3+5+7=16
monede și cum 16 este pătrat perfect, triunghiul poate fi transformat într-un pătrat cu latura de 4 monede.
Să mai observăm că primul triunghi este format din 4 rânduri și că pe ultimul rând se află
7=2*4-1
monede. Pentru a-l transforma într-un pătrat, se vor lua (7-4)+(5-4)=4 monede de pe ultimul, respectiv penultimul rând (4/2 rânduri) și se vor completa cu ele primele două rânduri.
Similar, al doilea triunghi este format din
1+3+5+7+9+11+13=49
monede și cum 49 este un pătrat perfect, și acest triunghi poate fi transformat într-un pătrat cu latura de 7 monede.
Triunghiul are 7 rânduri și
13=2*7-1
monede pe ultimul rând. Se vor muta monede de pe ultimele 3 [(7-1)/2] rânduri și anume
(13-7)+(11-7)+(9-7)=12
monede și se vor adăuga celorlalte 4 rânduri.
b. Cu 35 de monede nu se poate construi un triunghi isoscel după metoda mai sus enunțată, lipsind 1 monedă pentru ca numărul dat să fie un pătrat perfect.
c. Generalizare
Dându-se n monede de aceeași valoare, este posibilă formarea unui triunghi isoscel cu ajutorul lor după formula 1 monedă, 3 monede, 5 monede, 7 monede, ... , (2k-1) monede, transformabil într-un pătrat, doar dacă n este un pătrat perfect.
Fie n=k². Triunghiul va avea k rânduri, iar pe ultimul rând se vor găsi (2k-1) monede. k reprezintă totodată și numărul de monede de pe latura pătratului.
Există două cazuri:
Cazul I. k este număr par
Numărul de rânduri de pe care vor fi luate monede este k/2. Numărul monedelor mutate va fi:
1+3+5+7+...+(2k-3-k)+(2k-1-k)=
1+3+5+7+...+(k-3)+(k-1)=
[1+2+3+4+5+6+7+...+(k-1)]-[2+4+6+...+(k-2)]=
[1+2+3+4+5+6+7+...+(k-1)]- 2[1+2+3+...+{(k-2)}/2]=
{k(k-1)}/2 -2 {{k-2}/2 cdot k/2}/2=
k/2 (k-1-{k-2}/2)=
k/2 cdot {2k-2-k+2}/2=
${k^2}/4=$
n/4
Cazul II. k este număr impar
Numărul de rânduri de pe care vor fi luate monede este (k-1)/2. Numărul monedelor mutate va fi:
[2+4+6+...+(2k-1-k)]=
[2+4+6+...+(k-1)]=
2[1+2+3+...+{(k-1)}/2]=
2 cdot {{k-1}/2 cdot ({k-1}/2+1)}/2=
{k-1}/2 cdot {k+1}/2=
${k^2 -1}/4=$
{n-1}/4