Problema vizitatorului

A rămas de demonstrat inegalitatea:

x^2 (y+z)+y^2 (x+z)+z^2 (x+y) <= 2(x^3 +y^3 +z^3 )

Vom grupa astfel termenii din stânga și din dreapta semnului de inegalitate:

 xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) <= (x^3 +y^3)+(x^3 +z^3 )+(y^3 +z^3 ) doubleleftright

 xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) <= (x+y)(x^2 -xy+y^2 )+(x+z)(x^2 -xz+z^2) +(y+z)(y^2 -yz+z^2 )

Avem

xy(x+y) <= (x+y)(x^2 -xy+y^2)

întrucât după simplificare cu (x+y), obținem inegalitatea

 xy <= x^2 -xy+y^2 doubleleftright

 0 <= {(x-y)}^2

Mai avem două inegalități similare, care însumate cu inegalitatea de mai sus, conduc la inegalitatea care trebuia demonstrată.

În întuneric

Clipe multe pot avea
Și puține-așijderea;
În beznă mă pot topi
Înainte de-a o știi.

Citește mai departe: În întuneric

Suflu fără trup

Trece fără să îl poți vedea
Și-l poți prinde, dar nu-l poți păstra;
N-are gâtlej, dar poate urla –
Ce să fie, știe cineva?

Citește mai departe: Suflu fără trup

Creatorul cercului

Face piruete pe hârtie
Stă fix și îți arată ție
Cum să te-nvârtești, să te rotești
Cercul repede să-l împlinești.
(propusă de Aura Dan)

Citește mai departe: Creatorul cercului

Omonimie

Fără mine nu vei putea să gătești
Și nici nu vei vedea pe unde pășești
După ploaie pe câmp ades mă-ntâlnești
Și mă repari-nainte să pescuiești.

Citește mai departe: Omonimie

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: