OZN-ul din lanul de lucernă

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme cu puțină geometrie Probleme cu puțină geometrie; Publicat: 30 Ianuarie 2019 30 Ianuarie 2019; Accesări: 2358 2358

Cercul imprimat de un OZN într-un lan de lucernă de pe o suprafață triunghiulară are diametrul egal cu înălțimea AD din vârful unghiului drept al acestui triunghi (vezi desenul de mai jos.) Cercul taie catetele AB și AC ale triunghiului în punctele K respectiv M, iar dreapta KM intersectează înălțimea AD în punctul L.
Măsurătorile efectuate de ufologii sosiți imediat la fața locului au relevat faptul că lungimile segmentelor AK, AL și AM formează o progresie geometrică (i.e. AK/AL=AL/AM.)
Publicate într-un cotidian local de mare tiraj, rezultatele acestor măsurători i-au permis proprietarului terenului cu lucernă (care nu dispunea de instrumente de măsurare atât de exacte) să determine și măsurile unghiurilor ascuțite din B și C ale triunghiului ABC. Puteți spune cum a procedat și la ce rezultate a ajuns?
(Și așa cum reiese și din desen, cateta AB este mai mare decât cateta AC.)

triunghiul ABC dreptunghic în A și cercul cu diametrul egal cu înălțimea AD a acestui triunghi care taie cateta mare AB în punctul K și cateta mică AC în punctul M

Soluție:

Fie AB=c, AC=b.
AD fiind înălțime în triunghiul ABC, cercul de diametru AD este tangent la dreapta BC în punctul D. Apoi, unghiul din A fiind cu vârful pe cerc și fiind drept, KM este diametru în acest cerc. AD și KM fiind diametre, patrulaterul AKDM are toate unghiurile drepte și deci este dreptunghi.
Intersecția L a diagonalelor acestui dreptunghi este centrul cercului (diagonalele fiind diametre în acest cerc.)
Atunci,
$AL={AD}/2={bc}/{2 sqrt{b^2 +c^2 }}$
Aplicând teorema catetei în triunghiul dreptunghic ADB (sau dintr-o simplă asemănare de triunghiuri), găsim că
${AD}^2 =AK cdot AB doubleleftright$
$(1)~AK={{AD}^2 }/{AB}={{b^2 c^2}/{b^2 +c^2 }}/c={b^2 c}/{b^2 +c^2 }$
În mod analog, aplicând teorema catetei în triunghiul dreptunghic ADC, rezultă că
$(2)~AM={b c^2}/{b^2 +c^2 }$
Apoi, L fiind centrul cercului de diametru AD, după cum am văzut mai sus, avem
$(3)~AL={bc}/{2 sqrt{b^2 +c^2 }}$
Din (1), (2) și (3) și ținând seama că AK, AL și AM sunt în progresie geometrică, obținem:
${AL}^2 = AK cdot AM doubleleftright$
${b^2 c^2}/{4(b^2 +c^2 )}={b^2 c}/{ b^2 +c^2 } cdot {b c^2}/{ b^2 +c^2 } delim{|}{:}{} {b^2 c^2}/{b^2 +c^2 } doubleleftright$
$1/4 ={bc}/{b^2 +c^2 } doubleleftright$
$b^2 +c^2 =4bc delim{|}{:}{} bc doubleleftright$
b/c +c/b=4 doubleleftright
tan B + 1/{tan B} =4 doubleleftright
${tan B}^2 -4 tan B +1=0$
de unde, rezultă
tan B=2 pm sqrt{3}
Și cum b<c, adică tan B < 1, avem
tan B=2- sqrt{3}
iar
tan C=cotan B=1/{2- sqrt{3}} =2+ sqrt{3}
Și, bineînțeles, având valorile funcției tangentă pentru cele două unghiuri, folosind tabelele trigonometrice asociate acestei funcții, se pot determina acum și măsurile în grade ale acestor unghiuri.