Tipărire

Se iau 5 puncte oarecare ale unei rețele de puncte echidistante (care se obține intersectând un număr oarecare de drepte paralele și echidistante cu un număr oarecare de drepte perpendiculare pe acestea și echidistante, cu distanța dintre două drepte vecine ale primului grup egală cu distanța dintre două drepte vecine ale celui de al doilea grup.)
Desenul de mai jos ilustrează o astfel de alegere.
De ce este sigur că, în aceste condiții, cel puțin unul din mijloacele segmentelor care unesc două din cele 5 puncte alese este, de asemenea, un punct al rețelei?

o rețea de 24 puncte echidistante dispuse pe 4 rânduri și 6 coloane cele 5 puncte alese fiind ultimele două de pe primul rând primul și al cincilea de pe al doilea rând și al treilea de pe ultimul rând

Soluție:

același desen ca la cerință cu un sistem ortogonal de axe de coordonate având originea în primul punct de pe ultimul rând al rețelei

Alegând un sistem ortogonal de axe de coordonate cu originea într-un punct oarecare al rețelei, coordonatele oricărui punct al rețelei vor fi în acest caz numere întregi.
Mai mult, luând sistemul de coordonate cu originea în primul punct de pe ultima linie a rețelei, aceste coordonate vor fi numere naturale.
Ținând seama de faptul că mijlocul unui segment are coordonatele egale cu semisuma coordonatelor capetelor segmentului, mijlocul unui segment determinat de două din cele 5 puncte arbitrare ale rețelei va fi și el un punct al rețelei dacă acele două puncte au coordonatele respectiv de aceeași paritate (caz în care coordonatele lui vor fi de asemenea numere naturale din intervalele respectivelor coordonate.)
(De exemplu, punctele din desenul de mai sus unite printr-o linie punctată au coordonatele (2, 0) și respectiv (0, 2) iar mijlocul segmentului determinat de ele are coordonatele (1, 1) și este evident un punct al rețelei.)
Și întrucât, din punct de vedere a parității coordonatelor, un punct oarecare al rețelei se află într-una din următoarele 4 situații:
1) (par, par); 2) (par, impar); 3) (impar, par); 4) (impar, impar)
rezultă că din 5 puncte oarecare ale rețelei cel puțin două se vor afla într-una din categoriile enumerate mai sus, adică vor avea coordonatele respectiv de aceeași paritate.
Cu alte cuvinte, din 5 puncte oarecare ale rețelei pentru cel puțin două  mijlocul segmentului determinat de ele va fi de asemenea un punct al rețelei.