Tipărire

Pe laturile unui hexagon regulat de latură a se construiesc în exterior triunghiuri echilaterale și se unesc între ele vârfurile triunghiurilor. Se obține astfel un nou hexagon regulat.
Arătați că aria hexagonului obținut este de 3 ori mai mare decât aria hexagonului dat.

un hexagon regulat pe laturile căruia s-au construit triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri s-au unit

(propusă de prof. Cornelia Moarcaș)

Soluție:

același desen ca la cerință cu triunghiul din stânga sus notat cu ABC în sens antiorar și vârful triunghiului de pe latura de sus notat cu D

Atunci,
 A_{hex2} =A_{hex1} +6A_{ABC} +6A_{ACD} =
 A_{hex1} +A_{hex1} +6A_{ACD} =
 2A_{hex1} +6A_{ACD}
Triunghiurile ABC și ACD au unghiurile din C suplementare (cu suma măsurilor de 180 ° .) În plus, laturile care formează aceste unghiuri sunt egale:
AC=BC=CD=a.
Prin urmare, și ariile acestor triunghiuri sunt egale (având bazele BC și CD egale și înălțimea corespunzătoare acestor laturi comună.)
Așadar,
 A_{hex2} =2A_{hex1} +6A_{ACD} =
 2A_{hex1} +6A_{ABC} =
 2A_{hex1} +A_{hex1} =
 3A_{hex1}, ~c.c.t.d.