Vi se dă o riglă negradată cu muchiile paralele și un segment cu lungimea mai mică decât lungimea riglei.
Vi se cere să găsiți mijlocul segmentului cu ajutorul riglei negradate. Dovediți corectitudinea construcției făcute.

Soluția 1:

Să notăm cu BC segmentul dat. Se așează mai întâi rigla astfel încât punctul B să se găsească pe muchia de sus (muchia 1) iar punctul C pe muchia de jos (muchia 2.) Apoi, rigla se repoziționează astfel încât punctul B să se găsească pe muchia de jos (muchia 2) iar punctul C pe muchia de sus (muchia 1), așa cum se vede în desenul de mai jos.

desen1

S-a format paralelogramul SBTC în care segmentul BC este una dintre diagonale.
Se unesc acum punctele S și T iar punctul M în care cele două diagonale ST și BC se intersectează este mijlocul segmentului BC.

Soluția 2:

Se așează rigla cu muchia de jos suprapusă peste segmentul BC și se duce o paralelă la BC. Se translatează apoi rigla paralel cu BC până când muchia de jos se suprapune peste paralela la BC și se duce o a doua paralelă la BC (vezi desenul de mai jos.)

desen2

Pe ultima dreaptă trasată se ia un punct oarecare A care se unește apoi cu punctele B și C. Dreapta AB intersectează prima paralelă în D iar dreapta AC în E. Dreptele CD și BE se intersectează în punctul O. Unim apoi punctele A și O iar punctul M în care dreapta AO intersectează pe BC este mijlocul segmentului BC.
Să demonstrăm acest lucru.

În mod evident, din construcție, segmentul DE este linie mijlocie în triunghiul ABC. Prin urmare,
 {DE}/{BC} =1/2
Apoi, din asemănarea triunghiurilor OBC și OED, rezultă că
 {OB}/{OE} ={BC}/{DE} =2
Aplicând acum teorema lui Menelaus triunghiului BEC și transversalei M-O-A, rezultă:
 {OB}/{OE} cdot {AE}/{AC} cdot {MC}/{MB} =1 doubleleftright
 2 cdot 1/2 cdot {MC}/{MB} =1 doubleleftright
 {MC}/{MB} =1 doubleleftright
 MC=MB,
adică M este mijlocul segmentului BC.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: