Trei furnici

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme cu puțină geometrie Probleme cu puțină geometrie; Publicat: 26 Decembrie 2015 26 Decembrie 2015; Accesări: 2462 2462

Din trei puncte diferite A, B, C (colțurile din stânga jos ale celor trei pătrate), trei furnici văd același bob de mei aflat în punctul E.
Folosind doar noțiuni elementare de geometrie, arătați că unghiurile a (EAD), b (EBD) și c (ECD) din care cele trei furnici văd bobul de mei sunt astfel încât măsura lui c este suma măsurilor lui a și b.

trei pătrate de aceeași latură lipite unul de altul cu vârfurile de jos notate cu A B C și D iar vârful din dreapta sus notat cu E

Soluție:

Fie F piciorul perpendicularei din E pe diagonala AG a primului pătrat și d măsura unghiului EAG.

perpendiculara din E taie diagonala AG în F

Evident, patrulaterul FGCE este un dreptunghi cu două laturi consecutive congruente (unghiul FGE fiind de 45 de grade, triunghiul FGE este dreptunghic isoscel) și, prin urmare, este pătrat.
Așadar, FE=FG=GC=GA, iar în triunghiul dreptunghic AFE
{AF}/{FE}=1/2
la fel ca în triunghiul dreptunghic BDE în care
{BD}/{DE}=1/2.
Deci, triunghiurile dreptunghice AFE și BDE sunt asemenea și, ca urmare, b=d.
Și, întrucât,
$a+d=m(hat{GAB})={45}^{circ}$
iar
$c=m(hat{ECD})={45}^{circ}$
urmează că
c=a+d=a+b,
q.e.d.