Înscris și circumscris

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme cu puțină geometrie Probleme cu puțină geometrie; Publicat: 02 Octombrie 2015 02 Octombrie 2015; Accesări: 4465 4465

De câte ori este mai mare aria hexagonului regulat circumscris unui cerc decât aria hexagonului regulat înscris în același cerc? Justificați!

un cerc și două hexagoane regulate unul înscris în cerc iar celălalt circumscris cercului hexagoanele având laturile paralele două laturi fiind orizontale

Soluția 1:

un cerc și două hexagoane regulate unul înscris în cerc iar celălalt circumscris cercului cel înscris având două laturi orizontale iar cel circumscris având două laturi verticale

Hexagonul exterior circumscris cercului poate fi rotit așa cum se vede în figura de mai sus. Ducând razele în hexagonul interior și unind apoi centrele de greutate ale celor 6 triunghiuri echilaterale care s-au format cu vârfurile acestor triunghiuri, se obține o împărțire a hexagonului interior în 18 triunghiuri isoscele congruente și o împărțire a hexagonului exterior în 24 de triunghiuri isoscele congruente (cele 18 ale hexagonului interior plus încă 6 corespunzătoare fiecărui vârf al hexagonului exterior.)
Așadar, aria hexagonului regulat circumscris cercului este de
{24}/{18}=4/3 approx 1,33
ori mai mare decât aria hexagonului regulat înscris în cerc.

Soluția 2:

același desen ca la enunț în care centrul cercului este unit cu capetele laturilor orizontale AB și CD de jos ale hexagoanelor înscris respectiv circumscris și cu mijloacele M respectiv N ale acestor laturi

Dacă r este raza cercului (circumscris hexagonului interior) iar R este raza cercului circumscris hexagonului exterior, atunci în triunghiul dreptunghic ONC avem:
sin {60}={ON}/{OC} doubleleftright
{sqrt {3}}/2=r/R doubleleftright
R={2 sqrt {3} r}/3.
Atunci, aria hexagonului interior este egală cu
$s=6 S_{OAB}=6 cdot {r^2 sqrt {3}}/4={3 sqrt {3} r^2}/2$
iar aria hexagonului exterior este
$S=6 S_{OCD}={3 sqrt {3} R^2}/2={3 sqrt {3} cdot 4/3 r^2}/2=2 sqrt {3} r^2.$
Așadar, aria hexagonului regulat circumscris cercului este de
$S/s={2 sqrt {3} r^2}/{{3 sqrt {3} r^2}/2}=4/3 approx 1,33$
ori mai mare decât aria hexagonului regulat înscris în același cerc.